Разные мысли

Если кто против, я удалю

А мысли то собственно где. Уже удалил.

_________________
Украина = Антироссия, а украинство = русофобия

Мысли пока там, где им быть и положено. В голове.

Общеизвестно (во всяком случае, среди тех, кто учился в школе), что сила притяжения между 2-мя материальными точками с массами M и m, расстояние между которыми r, дается формулой
F=GMm/r²
(Из этой формулы видно, что при сближении точек на нулевое расстояние сила возрастает до бесконечности).
Почти очевидно, что величина силы будет такой же, если вместо точки массы M у нас будет сфера массы M. Предполагается, что расстояние r между центром сферы и точкой m больше радиуса R сферы.
Менее очевидно, но это довольно просто доказать, что если r<R (то есть точка m лежит внутри сферы), то сила будет равна нулю. Поле тяготения, создаваемое сферой, внутри нее обращается всюду в 0.
В том числе и в центре сферы.
Теперь вопрос.
Пусть точка m находится точно в центре сферы. Отрезаем половинку сферы и выкидываем.
Чему будет равна сила, действующая на точку m?

Задачу можно решить без интегрирования.

Пусть находится все за.
Сферу не трогай не режь. Пипец.Он ее выкинул.
Надо было мне отдать.

_________________
Украина = Антироссия, а украинство = русофобия

Мне показался интересным способ, который позволяет решить не только эту задачку, а вообще все похожие задачи с материальной точкой внутри усеченной сферы.

Плясать нужно от теоремы Ньютона нашего Исаака. Именно он все по-честному проинтегрировал и дал нам возможность утверждать:

Как же он это доказал?
Довольно просто:

Здесь гравитационный потенциал кольцевого пояса
dU = -(Gμ2πR²sinφdφ)/l
l² = R²+r²-2Rrcosφ
дифференцируя, получаем ldl = Rrsinφdφ
тогда dU = -dl(Gμ2πR)/r
Замечаем, что для того, чтобы найти U, надо просто подставить вместо dl разность Δl
В случае целой сферы Δl = (r+R)-(r-R) = 2R
И тогда потенциал сферы U = -Gμ(4πR²/r) = -GM/r
А сила F = mgradU = GMm/r²
Что и требовалось доказать.

Фишка в том, что нам для решения всех других задач ничего больше интегрировать не нужно!

Мы просто считаем разность Δl
Например, для упомянутой задачи:
Δl = (R+r)-sqrt(R²+r²)

Здесь пока r не равно нулю, как требуется по условию задачи, мы просто берем его очень малым.
Тогда U = -Gμ(2πR/r)(R+r-sqrt(R²+r²))
Разлагая в ряд при малых r, получаем
U = -GM/2R+GMr/4R²
Дифференцируя по r и умножая на m, получаем силу GMm/4R²
Это и есть правильный ответ на задачу.

Заметьте, ничего интегрировать не пришлось!

Вот про эту хрень:

вчера в ЧтоГдеКогда вопрос был. Не угадали.
Оказывается, это шаблон для бритья бороды.
А для чего вот эти три ролика, так и не объяснили.
Кто скажет?

В качестве демонстрации попробуем решить такую задачку:
Найти силу, с которой материальная точка массой m притягивается к диску диаметром d, находясь на его оси на расстоянии x от диска. Поверхностная плотность диска μ.
Ведь диск - это тоже кусочек сферы, только сферы очень большого диаметра.


Как и раньше, считаем Δl:
Δl = sqrt((d/2)²+(r-R)²)-(r-R)

Потенциал
U = -Gμ(2πR/r)(sqrt((d/2)²+(r-R)²)-(r-R))
U = -2πGμR(sqrt((d/2r)²+(1-R/r)²)-(1-R/r)) = -2πGμR(f(r)-(1-R/r))

Дифференцируем по r функцию f(r) = sqrt((d/2r)²+(1-R/r)²)
f'(r) = ((d/2r)²+(1-R/r)²)/2sqrt((d/2r)²+(1-R/r)²)'
= (((d/2r)²)'+((1-R/r)²)')/2sqrt((d/2r)²+(1-R/r)²)
= ((d/r)(d/2r)'+2(1-R/r)(1-R/r)')/2sqrt((d/2r)²+(1-R/r)²)
= ((-d²/2r³)+2(1-R/r)(-R/r)')/2sqrt((d/2r)²+(1-R/r)²)
= ((-d²/2r³)+2(R/r²)(1-R/r))/2sqrt((d/2r)²+(1-R/r)²)
= (r^-2(2R-2R²r^-1)-d²r^-3/2)/2sqrt((d/2r)²+(1-R/r)²)
= (2Rr^-2-2(d²/4+R²)r^-3)/2sqrt((d/2r)²+(1-R/r)²)
= (Rr^-2-(d²/4+R²)r^-3)/sqrt((d/2r)²+(1-R/r)²)
= r^-3(Rr-(d²/4+R²))/sqrt((d/2r)²+(1-R/r)²)

Таким образом, градиент потенциала, то бишь ускорение
g = -2πGμR(r^-3(Rr-(d²/4+R²))/sqrt((d/2r)²+(1-R/r)²)-R/r²)

Поскольку у нас x = r-R, то

g = -2πGμR((x+R)^-3(R(x+R)-(d²/4+R²))/sqrt((d/2(x+R))²+(1-R/(x+R))²)-R/(x+R)²)
= -2πGμR((x+R)^-3(Rx-d²/4))/sqrt((d/2(x+R))²+(1-R/(x+R))²)-R/(x+R)²)
= -2πGμR((x+R)^-2(Rx-d²/4))/sqrt(d²/4+x2)-R/(x+R)²)

Обозначим Q = sqrt(1+(d/2x)²)
Тогда g = -2πGμR((Rx-d²/4)/xQ-R)/(x+R)²
= -2πGμR(Rx-d²/4-xQR)/xQ(x+R)²
= -2πGμR²(1-d²/4Rx-Q)/Q(x+R)²
= -2πGμ(R/(x+R))²(1-d²/4Rx-Q)/Q
= 2πGμ(R/(x+R))²(1-1/Q+d²/4RxQ)

Устремляя R к бесконечности и умножая на m, получаем силу
F = 2πGμm(1-1/Q) = 2πGμm(1-1/sqrt(1+(d/2x)²))

Это в точности ответ из учебника.

И интегрировать не понадобилось!

Для разминки.
Существует ли функция f(x) (f(x) : R → R), такая, что f(f(x))=x²-1/2
?
Доказать, разумеется.

Ширину регулировать.

Ага. У них внутри резьбовая нарезка разнонаправленная с двух сторон.

Имеется плоскость, произвольным образом раскрашенная в два цвета.
Черный и белый.
Имеется линейка длиной 1 метр.
Доказать, что эту линейку всегда можно поместить на плоскость таким образом, что ее концы будут лежать в точках одного цвета.
При любых способах раскраски.

...угу!..

_ Вопрос, ставший хрестоматийным примером бредоумствования.
«Разверни новейшие таинственные творения, возомнишь быти во времена схоластики и словопрений, когда о речениях заботился разум человеческий, не мысля о том, был ли в речении смысл; когда задачею любомудрия почиталося и на решение исследователей истины отдавали вопрос, сколько на игольном острии может уместиться душ» .
Речь здесь идет о ставшем поговоркой схоластическом споре, сколько ангелов может поместиться на острие иглы
Дело в том, что собственно схоластическая традиция этого спора в такой формулировке его не знала. Восходит он к вопросу, который задается в Summa Theologiae Фомы Аквинского: «Сколько ангелов может находиться в одном месте"


ОЙ.. О чем это я?..
Нужно же про линейку...
Это очень важно!!!...
Не усну всю ночь...
Буду доказывать.

_________________
#крымнаш
#сириянаша (поправил)
#HighlyLikelyRussia

Ты женщина, что ли?