Американская система «Patriot» ДАЖЕ не отреагировала на запущенную баллистическую ракету.

Дегенераты форуашные, "Пэтриот" - не нечто однозначное, а целая серия ЗРК и ракет к ним, развивающаяся с 1980-х гг на протяжении уже почти 40 лет. Примерно как С-300/400. Есть более старые версии (и даже устаревшие), есть более новые.
И ракеты к "Пэтриоту" сильно различаются по предназначению - есть чисто "противосамолетные" (в основном более старые, зачастую с истекающими или истекшими сроками хранения), есть узко "противоракетные".

Особенность противоракетной ЗУР "Пэтриот ПАК-3" в том, что она экзоатмосферная, т.е. приспособлена к применению только за пределами плотных слоев атмосферы - и по траектории, и по установленным датчикам самонаведения. Чтобы увеличить дальность и высоту, плотную атмосферу она преодолевает вертикально в почти неуправляемом разгонном режиме, и только потом разворачивается на баллистическую ракету, хорошо видимую в заатмосферной прозрачности (точнее даже, заионосферной, так как этот нагретый пояс препятствует работе инфракрасных датчиков ГСН ЗУР).
Специально так сделано, чтобы увереннее сбивать дальние и высотные баллистические ракеты типа "Скада"-8К14, поднимающегося на высоту более 80 км, и еще более высотные ракеты средней дальности.

Но условно йеменские "Бадр-Ф" - не Скад, а скорее подражание "Точке". Если его запускать недалеко и по пологой траектории, он не выходит за пределы плотной атмосферы и оказывается недосягаем по нижней границе высоты для "Пэтриот ПАК-3".
Возможно, против него сработали бы противосамолетные варианты ЗУР "Пэтриот" (хотя они, в свою очередь, не слишком рассчитаны на мелкие быстрые цели - а "Точка" достигает скорости М=3, чрезмерной для авиации). Но их, скорее всего, нет в боекомплекте саудовских ЗРК в данном районе - так как у хуситов нет авиации. Кроме того, у старых противосамолетных ЗУР могли истечь сроки годности, а новых Пэтриот-ПАК-2 не закупили в должном количестве - нет противника с развитыми ВВС.
Таковы издержки узкой специализации и просчетов планирования.