29 апреля 1854 года родился французский математик Анри Пуанкаре.
Все слышали о том, что математик Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре. При этом мало кто пытается разобраться, в чем же состоит эта гипотеза. Многих на этом пути останавливает предрассудок, состоящий в том, что высшая математика это, что–то очень сложное и не доступное пониманию простого обывателя.
Профессор МГУ доктор физ–мат наук Владимир Андреевич Успенский считает, что обывателю вполне доступно понимание сути подобных проблем и в своей книге "Апология математики" популярным языком объясняет в чем состоит гипотеза Пуанкаре.
На современном языке гипотеза Пуанкаре звучит так: всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.
Разберемся с терминами:
Связное — значит, состоит из одного куска.
Односвязное — значит, любую кривую на нем можно стянуть в точку. Поверхность шара односвязна — если там лежит эластичная резинка, ее можно стянуть в точку, не отрывая от поверхности. А поверхность кольца уже не односвязна, если резинку надеть поперек, то в точку ее стянуть не получится.
Компактное — значит, не бесконечное. Треугольник компактный, а его угол — нет.
Трехмерное многообразие без края — значит, каждая точка может быть представлена как трехмерный шар. Например, наша вселенная. А трехмерный куб — это уже многообразие с краем, потому что точки на его поверхности не могут быть представлены как трехмерные шарики.
Гомеоморфно — значит что–то одно можно превратить во что–то другое "непрерывной деформацией" — без разрывов и склеиваний. Бублик гомеоморфен кружке, но не гомеоморфен шару. Нельзя никак шарик растянуть в тор, нигде не разрывая его.
А теперь слово Владимиру Успенскому:
«Обычная сфера, которая есть поверхность обычного шара, двумерна (а сам шар — тот трёхмерен). Двумерная сфера состоит из всех точек трёхмерного пространства, равноудалённых от некоторой выделенной точки, называемой центром и сфере не принадлежащей. Трёхмерная сфера состоит из всех точек четырёхмерного пространства, равноудалённых от своего центра (сфере не принадлежащего). В отличие от двумерных сфер трёхмерные сферы недоступны нашему непосредственному наблюдению, и нам представить себе их так же трудно, как Василию Ивановичу из известного анекдота квадратный трёхчлен. Не исключено, однако, что все мы как раз в трёхмерной сфере и находимся, то есть что наша Вселенная является трёхмерной сферой. В этом состоит значение результата Перельмана для физики и астрономии. Термин “односвязное компактное трёхмерное многообразие без края” содержит указания на предполагаемые свойства нашей Вселенной. Термин “гомеоморфно” означает некую высокую степень сходства, в известном смысле неотличимость.
Формулировка гипотезы в целом означает, следовательно, что если наша Вселенная обладает всеми свойствами односвязного компактного трёхмерного многообразия без края, то она — в том же самом “известном смысле” — и есть трёхмерная сфера.»
последний флаг Империи . 1914 г
