Нет привикам!

Исторический обзор изучения комплексных чисел в советской и российской общеобразовательной школе: программы, учебники


Рассмотрим программы средней школы по математике, учитывая объем и содержание темы «Комплексные числа» в различные периоды развития советской и российской школы.

Выделим несколько этапов:

I этап: 1917 - 1932г.г.
II этап: 1933 - 1965г.г.
III этап: 1965 - 1967г.г.
IV этап: 1968 г. - по настоящее время

I этап (1917-1932г.г.).
В эти годы понятия о комплексных числах входили в обязательную программу по математике. В программы, по которым работали школы до 1932 года, изучались лишь мнимые числа. Комплексные числа и идея расширения понятия числа в программу этих лет не входили. Мнимые числа использовались лишь в двух темах: «простейшие преобразования и действия со степенями и корнями» и «решение квадратных уравнений». Перед школьниками ставилась задача о необходимости извлечения квадратного корня из отрицательного числа и потребность установления числа корней квадратного уравнения. Этим объяснялось введение мнимых чисел. Впервые в школу было введено рассмотрение комплексных чисел в 1932 году. По программе этого года следует вводить комплексные числа в 8-м классе при исследовании квадратных уравнений. Программой предусмотрено изучение следующих вопросов: запись мнимого числа через i; степени i; комплексное число; сопряжённые комплексные числа; сумма и произведение комплексных чисел; разложение суммы квадратов двух чисел на произведение двух сопряжённых комплексных чисел" [31].

II этап (1932 - 1965 г.г.) С 1933 и до 1935 года, комплексные числа в школе изучаются уже в значительно большем объёме. Школьников знакомят с ними в 8 классе, а более подробно изучают в 9 классе, где кроме действий над комплексными числами дается их геометрическое представление. В 1935-1937 г.г. впервые в программу 10 класса включаются комплексные числа (действия над ними, их тригонометрическая форма). Их изучение дается в темах «Расширение понятия о числе» и «Обобщение понятия о числе» [31].
В Объяснительной записке к программе 1938 г. составители прямо указывают, что "в курсе алгебры 10-го класса перед введением комплексных чисел желательно привлечь внимание учащихся к идее эволюции понятия числа и сообщить краткие исторические сведения. Необходимо сообщить учащимся, что комплексные числа играют очень значительную роль в современной технике, в частности в авиации и электротехнике". В 1938 году общее название темы "Обобщение понятия о числе" было заменено названием "Комплексные числа" [24]. Но, несмотря на такие рекомендации в Объяснительной записке, самостоятельно вопросы расширения понятия числа не включались в программы вплоть до 1964 года.

В 1965 году из программы исключён вопрос "Основная теорема алгебры" (без доказательства).

Из таблицы видно, что если вопросы расширения понятия числа в какой-то степени затрагивались в программах средней школы, то вопросы приложений совсем не были развиты.

Характеризуя постановку преподавания комплексных чисел в общеобразовательных школах нашей страны на этом этапе, В.М. Кухарь пишет, «… за последнее время наметились три различных взгляда в постановке вопроса об изучении комплексных чисел. Первый взгляд сводился к необходимости внести изменения в изучение этой темы в средней школе с тем, чтобы учащиеся получили понятие о реальном содержании мнимых чисел. Второе мнение сводится к полному исключению этой темы из школьной программы по математике. Третье мнение сводится к тому, чтобы в средней школе ограничиться одним только понятием о комплексных числах, без рассмотрения их свойств и действий над ними. Изъятие из программы средней школы комплексных чисел, имеющих исключительно важное значение в современной механике и технике, противоречит целям политехнического обучения. По нашему мнению, количество часов, отведённых программой на изучение темы, надо сохранить, но в основу введения мнимых и комплексных чисел надо положить идею дальнейшего расширения и обобщения понятия о числе, показав реальную сущность и практическое применение. Мириться дальше с таким положением, когда учащиеся оперируют с мнимыми числами, реального смысла которых они не понимают, ни в коем случае нельзя. Выход из такого положения надо искать прежде всего в постановке вопроса об изучении комплексных чисел в средней школе».

III этап (1965 - 1967г.г.).

К середине 20 века выявилось отставание математической подготовки учащихся средней школы в теории комплексных чисел.

Действующая программа средней школы по математике мало способствовала формированию у учащихся правильного научного представления о понятии комплексного числа и его роли в общей идее расширения понятия числа.

Учащиеся допускали логические ошибки, не понимали реального значения комплексных чисел, полностью отсутствовали представления о приложениях комплексных чисел. В сознании учащихся этот раздел представлялся как формально-логическая игра, не имеющая никакого отношения к реальному миру. Эти недочеты отмечали многие ведущие математики и методисты страны [24]. Например, С.И. Новоселов, писал, «У учащихся возникают вопросы: какой реальный смысл числа и какие отношения окружающего мира оно отражает? Не находя ответа на эти вопросы, учащиеся невольно приходят к выводу, что вся теория комплексных чисел является фикцией. К сожалению, и в настоящее время среди молодежи, оканчивающей среднюю школу, можно встретить недоверчивое отношение к комплексному числу, как к чему-то несуществующему».

Н.Я. Виленкин в статье «Гибрид из мира идей или как комплексные числа стали прилагательными» прямо пишет: «Даже и теперь те, кто сталкивается с математикой лишь в средней школе, убеждены: никаких практических применений комплексные числа не имеют и иметь не могут, они придуманы лишь для того, чтобы портить жизнь школьникам.

Невозможно же, в самом деле, взвесить кг хлеба или отмерить метров сукна! Ведь даже само обозначение i для напоминает, что это число воображаемое, придуманное - оно происходит от латинского слова imaginarius - воображаемый, мнимый». Учитывая это, можно сделать вывод, что учащиеся лишь формально усваивают понятие комплексного числа и недостаточно глубоко вникают в его суть.

В 1966 году был предложен проект программы, где тема «Комплексные числа» была включена второй темой в курс алгебры 10 класса, и на ее изучение отводилось 20 часов.

И, наконец, в 1967 году в журнале «Математика в школе» был опубликован «Проект программы средней школы по математике», в котором впервые в истории советской школы было предложено в дополнение к урокам математики ввести факультативные занятия с изучением на них специального курса «Дополнительные главы и вопросы математики». Согласно этому проекту тема «Комплексные числа» из обязательной программы была исключена и введена в курс «Дополнительные главы и вопросы математики». В объяснительной записке к проекту программы сказано: «Составители с большим сожалением отказались в общеобразовательной программе от темы «Комплексные числа». Но они считают, что сохранение ее в том сокращенном объеме, в каком она представлена в действующей программе, мало целесообразно. Зато в курсе «Дополнительные главы и вопросы математики» удалось поместить эту тему достаточно рано и использовать эти числа в ряде приложений».

Действительно, тема «Комплексные числа» в программе курса «Дополнительные главы и вопросы математики» на факультативных занятиях была представлена в более широком объеме, чем это было раньше во всех ранее существовавших программах. И в 1967 году, после обсуждения проекта, была утверждена программа по математике для средней школы. Согласно этой программе изучение комплексных чисел предусматривалось только на факультативных занятиях по математике в 9-ых и 11-ых классах

Исключение темы «Комплексные числа» из программы общеобразовательной средней школы вызвало многочисленные возражения со стороны учителей, методистов и преподавателей ВУЗов. «Изучение комплексных чисел только на факультативных занятиях лишит большую часть учеников школы получить какое-либо представление о них. Для этой части будущих специалистов (если они не будут продолжать своего математического образования) комплексные числа останутся неизвестными. Изъятие этой темы обеднит уровень не только математического, но и общего развития учащихся, нанесет ущерб воспитанию у них диалектического мировоззрения».

«По не вполне ясным обоснованным причинам из «последнего» варианта проекта программы исключена тема «Комплексные числа». Мы за изучение этого вопроса в курсе элементарной математики, а не в курсе «высшей». «Разделяем сожаление составителей проекта программы об исключении из программы средней школы комплексных чисел. Без понятия комплексного числа изложение теории квадратных уравнений остается очень неполным».

IV этап (1968г. - по настоящее время).

Прошедшая в 1968 году модернизация общеобразовательного курса математики привела тому, что до настоящего времени раздел «Комплексные числа» в обычных школах не изучается. В школах с углубленным изучением математики на самостоятельное изучении раздела отводится 20 часов